Conjuntos

CONJUNTOS

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CONJUNTOS:

Al referirse a un conjunto se habla: dé que un elemento pertenece  a un conjunto determinado,  EJM: El torque de un motor es un componente específico de un carro.  Al hablar de conjunto  se está refiriendo a tres conceptos,: elemento (el objeto que va a constituir el conjunto, ejemplo: los dulces) conjunto (el lugar en que va los elementos,  ejemplo: paquete de dulces), pertenencia ( la relación que hay en el elemento y conjunto. 

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia: a ∈ A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∉ A.

Ejemplos de conjuntos:

       

                   

CONJUNTOS

¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto?

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

1.

 Por extensión:

Escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

2.

 Por comprensión:

Escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión:

{Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión:

{Meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/xes un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año. Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión:

{Pulgar, Índice, Mayor, Anular, meñique}

Por comprensión:

{Dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma:{x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que xes un dedo de la mano

DIAGRAMA DE VENN:

Los diagramas de Venn son “ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo”.

Este tipo de diagramas es conocido por muchos pues es comúnmente utilizado en las matemáticas para trabajar en el tema “conjuntos”. Sin embargo, su aplicación es mucho más amplia y permite identificar si existe o no relación entre los elementos de un conjunto y otro(s). 

           

 Existen diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo, círculo o rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores figuras geométricas, el área en que confluyen indica la existencia de un subconjunto que tiene características que son comunes a ellas; en el área restante, propia de cada figura, se ubican los elementos que pertenecen únicamente a esta”.

En el ejemplo anterior observamos que a partir de la unión de 2 conjuntos (A y B), resultan 3 áreas diferenciadas: A, B y AB.  Así mismo, pueden darse 6 combinaciones diferentes.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que se llama conjunto solución,  que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución. Por ejemplo:

Dados:   A = {-1, 1, 2, 3}       B = {2, 4, 6}      C= {4, 5, 7, 8}

               A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}

Observe que el resultado A u B no contiene elementos repetidos

A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se obtiene:

	A n B = {2}

B n C = {4}

A n B n C = { } Puesto que no hay ningún elemento que esté en los tres conjuntos.

(A u B) n C Observe que en este ejemplo se está aplicando la propiedad asociativa para la operación de unión entre A y B y a su resultado hacer la intersección con C.

(A u B) n C = {4}

DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Cuando se analiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta exclusivamente los elementos del conjunto A. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B, C que aparecen arriba:

A - B = {1, 1, 3}

B - C = {2, 6}

B - A = {4, 6}

C - B = {5, 7, 8}

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:

Cuando se consideran todos los elementos que sólo pertenecen los conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras, en la diferencia simétrica no se tiene en cuenta ningún elemento de la intersección entre los conjuntos, los demás sí. Por ejemplo, dados los conjuntos

A = {-1, 1, 2, 3,}       B = {2, 4, 6}     C = {4, 5, 7, 8}

y  U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Conjunto Universal o referencial)

A    B = {-1, 1, 4, 6}

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO:

Se buscan todos los elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por ejemplo:

A´= {4, 5, 6, 7}

B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}

C´= {-1, 1, 2, 3, 6,}

(A u B)´= {5, 7, 8}

 APLICACIONES DEL LOS CONJUTOS:

Los conjuntos sirven para asociar temas determinados en su respectivo lugar también sirve para ubicar objetos según su pertenencia, en la vida real los conjuntos de cierta manera ubican  a las personas,  trabajos y demás materiales  según su clasificación que ayudan a la conformación  de un conjunto en especifico (que se determina país).

PREPOSICIONES

Es una afirmación que puede ser verdadera o falsa pero no puede ser al mismo tiempo las dos. La verdad o falsedad de la preposición se llama valor de verdad. Se compone de letra las cuales son: P(FALSEDAD), Q(VERDAD)
un ejemplo seria

Mi nombre es Alicia =Q
7+4=12 =   P
Simón Bolívar independizó a Colombia = Q
El mes de febrero tiene 31 días= P

PROPOSICIONES ABIERTAS

Una preposición abierta es una expresión que contiene una variable x y que se convierte en una preposición cerrada cuando x se sustituye por un valor determinado.

La proposición se puede enuncia de las siguientes formas

1.    Existe x= 1 tal que x+1=1. Proposición verdadera

2.    Para todo x diferente de 1 se tiene que x+1=2 Proposición falsa

Ejemplo:
            (∃x=1) / (X+1=2) Verdadera

(∀x diferente de 1) / (X+1=2) Falsa

 CUANTIFICADORES:

Cuando se habla de cuantificadores, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. 

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente: 

que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos” 

Mientras que 

se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos” 

El símbolo  (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo (existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial. 

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad. 

Los cuantificadores más utilizados son entonces: 

·         CUANTIFICADOR UNIVERSAL: (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

·         CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

·         CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO:   (existe un único…): se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

TABLA DE VERDAD

Existen unas leyes logicas de gran importacia a partir de los cuales se puede analizar y resolver los problemas ante los que hallemos:

a)     

	Logica del opuesto: Sean dos elementos p y q, tales que P es el opuesto de Q. Si Q= ¬P,  Entonces.

Un ejemplo cotiano seria: Si voy al parque (p=1); no voy al parque es falso (¬p=0)

Nota: Ciertos autores en vez de poner 1 y 0 para determinar el estado lógico de un elemento proposición , prefieren poner V y F, respectivamente. Se corresponde, pues:

 V=1   F=0

b)	Lógica del conjuntor: Sean p y q dos elementos cualesquiera; entonces p q, será:

De manera que la lógica del conjuntor afirma que a no ser que todos elementos sean verdaderos, el enunciado es falso. Nótese que , o, si se prefiere, . Ejemplo: sea el enunciado y ; entonces tenemos:

f