CONJUNTOS
CONCEPTOS BÁSICOS
SOBRE CONJUNTOS:
Al referirse a un conjunto se habla: dé que un elemento
pertenece a un conjunto
determinado, EJM: El torque de un motor
es un componente específico de un
carro. Al hablar de conjunto se está refiriendo a tres conceptos,:
elemento (el objeto que va a constituir el conjunto, ejemplo: los dulces)
conjunto (el lugar en que va los elementos,
ejemplo: paquete de dulces), pertenencia ( la relación que hay en el
elemento y conjunto.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia: a ∈ A. En caso contrario, si a no es un elemento
de A se denota a ∉ A.
Ejemplos de
conjuntos:
CONJUNTOS
¿Cuáles son las
formas de determinar un conjunto?
Un conjunto puede determinarse de
dos formas:
1.
Por extensión:
Escribiendo dentro de una llave los
nombres de los elementos del conjunto.
2.
Por comprensión:
Escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y
solamente de ellos. Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:
Por extensión:
{Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre,
noviembre, diciembre}
Por comprensión:
{Meses del año}, o bien, de esta otra
forma: {x/xes un mes del año}, que se lee:
conjunto de elementos x tales que x es un mes del año. Ejemplo: El
conjunto dedos de la mano se nombra
Por extensión:
{Pulgar, Índice, Mayor, Anular,
meñique}
Por comprensión:
{Dedos de la mano}, o
bien, de esta otra forma:{x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de
elementos x tales que xes un dedo de la mano
DIAGRAMA DE VENN:
Los diagramas de Venn son
“ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente
la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),
representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo”.
Este tipo de
diagramas es conocido por muchos pues es comúnmente utilizado en las
matemáticas para trabajar en el tema “conjuntos”. Sin embargo, su aplicación es
mucho más amplia y permite identificar si existe o no relación entre los
elementos de un conjunto y otro(s).
Existen diferentes
grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo,
círculo o rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores figuras
geométricas, el área en que confluyen indica la existencia de un subconjunto
que tiene características que son comunes a ellas; en el área restante, propia
de cada figura, se ubican los elementos que pertenecen únicamente a esta”.
En el ejemplo anterior
observamos que a partir de la unión de 2 conjuntos (A y B), resultan 3 áreas
diferenciadas: A, B y AB. Así mismo, pueden darse 6 combinaciones
diferentes.
OPERACIONES
CON CONJUNTOS
Al realizar esta operación
estamos conformando un nuevo conjunto, que se llama conjunto solución,
que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén
uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución. Por
ejemplo:
Dados: A = {-1, 1, 2, 3} B = {2, 4,
6} C= {4, 5, 7, 8}
A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}
Observe que el resultado A u B no
contiene elementos repetidos
A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8}
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
Esta operación entre conjuntos
conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a
los conjuntos que hagan parte de esta operación. Por ejemplo si consideramos
los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se
obtiene:
B n C = {4}
A n B n C = { } Puesto que no hay ningún elemento que esté en los tres conjuntos.
(A u B) n C Observe que en este ejemplo se está aplicando la
propiedad asociativa para la operación de unión entre A y B y
a su resultado hacer la intersección con C.
(A u B) n C = {4}
DIFERENCIA
DE CONJUNTOS:
Cuando se analiza la diferencia
entre A y B, se obtiene
como respuesta exclusivamente los
elementos del conjunto A. Por ejemplo
si consideramos los conjuntos A, B, C que
aparecen arriba:
A - B = {1, 1, 3}
B - C = {2, 6}
B - A = {4, 6}
C
- B = {5, 7, 8}
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE
CONJUNTOS:
Cuando se consideran todos los
elementos que sólo pertenecen los conjuntos, sin tener
en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras, en la diferencia simétrica
no se tiene en cuenta ningún elemento de la
intersección entre los conjuntos, los demás sí. Por
ejemplo, dados los conjuntos
A = {-1, 1, 2,
3,} B = {2, 4, 6} C
= {4, 5, 7, 8}
y U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8} (Conjunto Universal o
referencial)
A B = {-1, 1, 4,
6}
COMPLEMENTO
DE UN CONJUNTO:
Se buscan todos los elementos que
le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por
ejemplo:
A´= {4, 5, 6, 7}
B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}
C´= {-1, 1, 2, 3, 6,}
(A u B)´= {5, 7, 8}
APLICACIONES
DEL LOS CONJUTOS:
Los conjuntos sirven para asociar temas
determinados en su respectivo lugar también sirve para ubicar objetos según su
pertenencia, en la vida real los conjuntos de cierta manera ubican a las personas, trabajos y demás materiales según su clasificación que ayudan a la
conformación de un conjunto en
especifico (que se determina país).
PREPOSICIONES
Es una afirmación que puede ser verdadera o
falsa pero no puede ser al mismo tiempo las dos. La verdad o falsedad de la
preposición se llama valor de verdad. Se compone de letra las cuales son:
P(FALSEDAD), Q(VERDAD)
un ejemplo seria
Mi nombre es Alicia =Q
7+4=12 = P
Simón Bolívar independizó a Colombia = Q
El mes de febrero tiene 31 días= P
PROPOSICIONES ABIERTAS
Una
preposición abierta es una expresión que contiene una variable x y que se
convierte en una preposición cerrada cuando x se sustituye por un valor
determinado.
La proposición
se puede enuncia de las siguientes formas
1.
Existe x= 1 tal que x+1=1. Proposición verdadera
2.
Para todo x diferente de 1 se tiene que x+1=2 Proposición falsa
Ejemplo:
(∃x=1) / (X+1=2)
Verdadera
(∀x diferente de
1) / (X+1=2) Falsa
CUANTIFICADORES:
Cuando se habla de cuantificadores, se hace referencia
a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición,
es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado,
cumplen con cierta propiedad.
Los cuantificadores permiten la construcción de
proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando
o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:
P(x) = x es menor que dos
Esto podría particularizarse así: “Existe un
número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números
reales son menores que dos”.
En cualquiera de los dos casos, se especifica un
conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el
conjunto de los números reales.
Para notar la particularización y la
generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:
que se
lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es
menor que dos”
Mientras que
se lee:
“para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es
menor que dos”
El símbolo 
(para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo 
(existe al menos un…) se denomina cuantificador
existencial.
Así, un cuantificador transforma una función
proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad.
Los cuantificadores más utilizados son entonces:
·
CUANTIFICADOR UNIVERSAL: (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un
conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa
como:
·
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: (existe al menos
un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A
que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.
·
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO: 
(existe un único…): se
utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que
cumple con una condición o propiedad determinada.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Sea p(x) una función proposicional con extensión
A, entonces:
TABLA DE VERDAD
Existen unas leyes logicas de gran importacia a partir
de los cuales se puede analizar y resolver los problemas ante los que hallemos:
a)
|
|
Logica del
opuesto: Sean dos elementos p y q, tales que P es el opuesto de Q. Si Q= ¬P,
Entonces. |
Un ejemplo cotiano seria: Si voy al
parque (p=1); no voy al parque es falso (¬p=0)
Nota: Ciertos autores en vez de poner
1 y 0 para determinar el estado lógico de un elemento proposición , prefieren
poner V y F, respectivamente. Se corresponde, pues:
V=1
F=0
|
| b) |
Lógica del conjuntor: Sean p y q dos elementos cualesquiera; entonces p q, será:
|
|
De manera que la lógica del conjuntor
afirma que a no ser que todos elementos sean verdaderos, el enunciado es falso.
Nótese que , o, si se prefiere, . Ejemplo: sea el enunciado y ; entonces
tenemos:
f
